Séries de Fourier ou Séries Trigonométricas

Jean Baptiste Joseph Baron du Fourier (1768-1830)

Joseph Fourier, um eminente matemática francês do século XVIII, ao tentar resolver o Problema da Condução de Calor no contexto de Rev. Industrial, percebeu que conseguia chegar na solução caso a condição Inicial fosse somas de Seno. A partir desse trabalho Fourier desenvolveu a série que leva seu nome (Série de Fourier) e ela é descrita como:

Podemos perceber que trata-se de uma Série (infinita) de funções de senos e cossenos. O que essa Série faz é pegar uma função f(x) qualquer e fazer uma expansão periódica dela ao longo de toda a reta. Observemos:

A nossa função está definida apenas no intervalo [-T/2 , T/2], um intervalo simétrico. A série de Fourier agora irá expandir essa nossa função ao longo de toda a reta de modo que ela seja periódica:

 

Ao analisarmos o Teorema da Convergência para Série de Fourier ( A série Converge desde que os limites laterais sejam finitos), percebemos que o mecanismo por trás dela é o de pegar nossa função original e fazer média aritmética dos pontos dela (sejam contínuos ou descontínuos removíveis) e replicar isso ao longo de toda a reta. Por isso quando há singularidades, fazemos a média aritmética dos limites laterais.

Essa Série é importante para os estudos de ondas. Com ela podemos modelar ondas.

O que é importante também termos em mente é que podemos expandir funções que são simétricas (pares ou ímpares) num intervalo que seja simétrico (obviamente). Mas, se a função estiver definida num intervalo não simétrico podemos extendê-la de modo que ela vire par ou ímpar e daí teremos uma série de cossenos ou de senos, respectivamente. Lembremos que uma função par segue a equação: f(x)= f(-x) e uma função ímpar segue f(x)= - f(-x). A Primeira é simétrica em relação ao eixo y e a segunda é simétrica em relação a origem.

Exemplo:

• Função Par:  f(x)= x²

• Função Ímpar: f(x)= x³

Entender produto de funções simétricas também nos ajuda bastante a calcular os termos (a0, an e bn) da Série de Fourier.

Lembremos que :

• par * par = par      
• par*ímpar = ímpar
• ímpar * par= ímpar
• ímpar * ímpar = par 

Os termos, a0, an e bn são calculados da seguinte maneira: 

Integrais de Funções Pares e ímpares:


Par:   



Ímpar: 


Usando As regras de Produto de Funções Pares e ímpares podemos facilitar os cálculos das integrais para obtenção de an e bn.


Outro Teorema Importante, mas que não abordaremos nessa resenha é o Teorema (ou Identidade) de Parseval que nos possibilita associar um número a uma Série Numérica.

São José de Anchieta

Nascido na Espanha e estudante de Coimbra (Portugal), veio para o Brasil com apenas 19 anos como um missionário jesuíta da Companhia de Jesus ( fundada por Santo Inácio de Loyola) a fim de evangelizar os povos nativos da Terra de Santa Cruz.
Teve a companhia do padre Manoel da Nóbrega nessa missão árdua e espinhosa que era levar o único Deus (monoteísmo) a um povo entregue ao pecado da idolatria. Anchieta, com apenas três anos no meio dos nativos decifrara a língua Tupi e compilou uma espécie de dicionário, 'gramaticalizando' tal língua.
O irmão Anchieta, ao lado do padre Manoel , foi o fundador de São Paulo. Eles construíram uma espécie de centro educacional que era chamado de Pátio do Colégio. Era um núcleo para fins de catequização.
Outro fato interessante em sua vida foi o seu voto de castidade e sua piedade diante de Deus. Ele pediu à Virgem para que pudesse livrá-lo do pecado de luxúria, pois estava no meio de índias formosas e nus e algumas foram-lhe oferecidas por indígenas. Ele conseguiu cumprir tal voto e mediante a ele, escreveu mais de 5 mil versos em honra e devoção à santíssima Virgem.
Anchieta era simples, ele usava apenas uma batina e andava descalço sobre essa vasta terra a ponto de seus pés sangrarem. Ele ia descalço para pregar sobre a Morte e Ressurreição do Filho de Deus. Isso nos faz lembrar o que dizia o profeta Isaías: Quão formosos são, sobre os montes, os pés do que anuncia as boas novas, que faz ouvir a paz, do que anuncia o bem, que faz ouvir a salvação, do que diz a Sião: O teu Deus reina! (Isaías 52:7)

VIVA ANCHIETA!!!

As Artes do Belo

Objetivo das Artes do Belo: propender o homem para o Bom e o Verdadeiro mediante o Belo e afastá-lo do Mal mediante ao horrível.
Podemos elencar 8 artes do Belo:
1- Literatura
Grandes nomes: Homero, Eneida, Padre José de Anchieta, Shakespeare
2- Cinema: a última das Artes do Belo porque para sua existência é necessário o uso de câmeras e outros aparelhos que surgiram com o advento da revolução tecnológica
3- Teatro: inventado pelos gregos

Artes do Belo 'congeladas no tempo'

4- Pintura:
Grandes nomes: Caravaggio, Rembrandt, Fra Angelico e Van Gogh
5-Escultura:
Grandes nomes: Michelangelo e Aleijadinho (fizeram parte do Barroco)
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6- Música: A mais perceptível Arte do Belo
Grandes nomes: Johann Sebastian Bach, Handel, Mozart, Beethoven e Arvo Pärt (estoniano)
7- Dança: A mais efêmera das Artes
8- Arquitetura:
Uma observação a ser feita é a de que a Arquitetura Moderna consiste em algo horrível, resume-se à caixotes com uma acústica e aparência péssimas.

Reforma e Sociedade

A Reforma Protestante trouxe consiga uma nova forma de enxergarmos o mundo. Diferente da Idade Média em que as pessoas viviam uma forma de escapismo, a Reforma trouxe o denominado aspecto intramundano como a maneira correta que os cristãos deveriam ver o mundo. Consiste basicamente numa síntese entre o Eterno e o temporal, o infinito e o finito.
Como reconhecia Agostinho, também devemos reconhecer que o Eterno, Perfeito e Infinito é infinitamente superior ao temporal, finito e imperfeito. E isso não significa dizer que esses últimos são ruins. Eles são bons, pois foram criados por Deus. Sendo assim, devem submeter-se aos primeiros. Essa submissão causa uma síntese assimétrica e não simétrica. Muitas correntes no protestantismo caem em heresia por conta de não saber fazer tal síntese. Exemplo: Teologia da Missão Integral.

Fundamentos Históricos: Os holandeses tinham uma fé pública e participação nas áreas da vida como a políticas, as artes, a cultura em geral, etc.
Já os americanos, uma espiritualidade e uma vida de devoção integral a Deus. Da síntese americana-holandesa surgiu o L'Abri.

Diferença entre "marxiano" , "marxismo" e "marxiólogo"

marxiano: punhado pelo próprio Marx
Madxismo: tradição que se inspira em Marx e em autores que se inspiraram em Marx
Marxiólogo= pessoas que se encarregam de estudar o Marx

Stuart Mill

3 Motivos para existir a Liberdade de Expressão:

1. Falibilidade: Podemos estar errados e ,portanto, temos a oportunidade de corrigir nossos errados ouvindo a opinião alheia e vice-versa.
2. Rachadura: Nossas ideias podem ter fissuras ou rachaduras e para o seu reparo, o diálogo é fundamental
3. Dogma: Ainda que nossas opiniões estejam corretas, elas são questionáveis e , portanto, devem ser justificadas. Desse modo ela não se tornará um dogma

Ex: O debate entre terraplanistas e os defensores da Terra "esférica".

“Se todos os homens menos um partilhassem a mesma opinião, e apenas uma única pessoa fosse de opinião contrária, a humanidade não teria mais legitimidade em silenciar esta única pessoa do que ela, se poder tivesse, em silenciar a humanidade (...) "
- John Stuart Mill

Neoconservadorismo

O neoconservadorismo (comumente abreviado para neocon quando rotula seus adeptos) é um movimento político nascido nos Estados Unidos durante a década de 1960 entre os falcões liberais que se desencantaram com a política externa cada vez mais pacifista do Partido Democrata e a crescente Nova Esquerda e contracultura , em particular os protestos do Vietnã . Alguns também começaram a questionar suas crenças liberais em relação a políticas domésticas como a Grande Sociedade .

Os neoconservadores tipicamente defendem a promoção da democracia e do interesse nacional nos assuntos internacionais , incluindo a paz pela força (por meio da força militar), e são conhecidos por defender o desdém pelo comunismo e pelo radicalismo político.

Ludwig von Mises e o Liberalismo

Ludwig Heinrich Edler von Mises foi economista teórico liberal, de nacionalidade austríaca e, posteriormente, americana, que foi membro da Escola Austríaca de pensamento econômico. 

Época em que ele escreve: Guerra Mundial e contexto de crise dos Valores Liberais

Os 4 Pilares do Liberalismo:

1. Defesa das Liberdades individuais
2. Defesa da Liberdade de Comércio
3. Defesa da Propriedade Privada
4. Defesa da Paz

Diferença entre o liberalismo clássico (de Thomas Paine, John Locke, etc) e o Liberalismo de Mises:

Os liberais clássicos diziam que os Direitos de Igualdade, Liberdade e Propriedade são Direitos Naturais, ou seja, eles têm como fundamento o jusnaturalismo. Portanto, eles justificam esses direitos por meio de sua genealogia. Mises, em certo sentido, é mais prático em relação aos clássicos, pois ele considera a Igualdade, Liberdade e Propriedade como Direitos pelo fato de eles trazerem maior Enriquecimento e Felicidade, ou seja, ele têm como fundamento o telos.

Exemplo que Mises coloca: Um Trabalhador Livre que possui os direitos supracitados tem maior produtividade e maior possibilidade de enriquecimento que um escravo que, por sua vez, não possui esses direitos.

Negação da Luta de Classes

A tradição marxista afirma que para haver enriquecimento de uns, tem que haver simultaneamente o empobrecimento de outros. Dentro do marxismo isso é explicado por meio da dicotomia burguês-proletariado, em que Karl Marx diz que a classe burguesa explora a proletariada e, sendo assim, a primeira enriquece enquanto a segunda, empobrece. Mises contraria essa tradição! Ele diz que o Capitalismo Liberal enriqueceu a população em sua maior parte, ainda que de forma desigual. Basta verificarmos a diminuição da taxa de mortalidade infantil, aumento na expectativa de vida, brusca redução de pessoas que passam fome e outros dados que demonstram a melhoria na qualidade de vida após a chegada desse sistema econômico. Um exemplo que o austríaco dá é o de que um operário inglês vive com mais conforto que um rei africano de outrora.

O liberalismo é uma Ideologia Burguesa?

Não, pois há uma grande parcela da Burguesia que se opõe ao Liberalismo para que ela continue no poder, como grupo dominante.

Qual é o Objetivo do Liberalismo?

Garantir o maior Bem-Estar Material possível. Essa é a base para a busca da Felicidade que é 'algo' que deve ser buscado pelo indivíduo, pois não é propiciado diretamente pelo Liberalismo, ou seja, o Liberalismo fornece apenas a base.

Por que o Capitalismo Liberal propicia uma sociedade mais rica e menos preconceituosa em relação a mulheres, negros e minoria?

Mises repete o argumento do liberal econômico Adam Smith: A divisão e a especialização do trabalho promovem uma maior produtividade do trabalhador e, em consequência disso, maior riqueza. Mas isso só ocorre porque o Capitalismo Liberal pressupõe que os meios de produção sejam privados!

Ademais, esse sistema de economia, em que há o Livre Comércio, incentiva a Inclusão de grupos como mulheres, negros e minoria, visto que o que é levado em consideração é igualdade, a produtividade e as relações comerciais.

Por que o Socialismo não funciona?

No Sistema Capitalista, tudo pode ser expresso em dinheiro, já no sistema socialista, não havendo mercado, é impossível calcular os custos e os benefícios das Coisas.

Paradoxo das Consequências

Para Mises, a Intervenção do Estado, por mais bem intencionada que ela seja, sempre traz consequências negativas. Um exemplo na História do Brasil foi quando no período de Inflação, o Presidente Sarney congelou os preços e isso trouxe consequências negativas para a economia do país.

 O Liberalismo Moral de Mises

O economista austríaco não é contra as Drogas se elas prejudicarem somente o usuário. Mises se opõe às drogas se elas prejudicarem os outros que não consome-a.

Recintos aduaneiros

Porto, aeroporto e recinto alfandegário

Os tipos de Marketing

4 tipos de marketing:
1. Marketing boca a boca (multinível)
2. Marketing guerrilha
3. Marketing televisivo
4. Marketing digital (mídias sociais)