Séries de Fourier ou Séries Trigonométricas

Jean Baptiste Joseph Baron du Fourier (1768-1830)

Joseph Fourier, um eminente matemática francês do século XVIII, ao tentar resolver o Problema da Condução de Calor no contexto de Rev. Industrial, percebeu que conseguia chegar na solução caso a condição Inicial fosse somas de Seno. A partir desse trabalho Fourier desenvolveu a série que leva seu nome (Série de Fourier) e ela é descrita como:

Podemos perceber que trata-se de uma Série (infinita) de funções de senos e cossenos. O que essa Série faz é pegar uma função f(x) qualquer e fazer uma expansão periódica dela ao longo de toda a reta. Observemos:

A nossa função está definida apenas no intervalo [-T/2 , T/2], um intervalo simétrico. A série de Fourier agora irá expandir essa nossa função ao longo de toda a reta de modo que ela seja periódica:

 

Ao analisarmos o Teorema da Convergência para Série de Fourier ( A série Converge desde que os limites laterais sejam finitos), percebemos que o mecanismo por trás dela é o de pegar nossa função original e fazer média aritmética dos pontos dela (sejam contínuos ou descontínuos removíveis) e replicar isso ao longo de toda a reta. Por isso quando há singularidades, fazemos a média aritmética dos limites laterais.

Essa Série é importante para os estudos de ondas. Com ela podemos modelar ondas.

O que é importante também termos em mente é que podemos expandir funções que são simétricas (pares ou ímpares) num intervalo que seja simétrico (obviamente). Mas, se a função estiver definida num intervalo não simétrico podemos extendê-la de modo que ela vire par ou ímpar e daí teremos uma série de cossenos ou de senos, respectivamente. Lembremos que uma função par segue a equação: f(x)= f(-x) e uma função ímpar segue f(x)= - f(-x). A Primeira é simétrica em relação ao eixo y e a segunda é simétrica em relação a origem.

Exemplo:

• Função Par:  f(x)= x²

• Função Ímpar: f(x)= x³

Entender produto de funções simétricas também nos ajuda bastante a calcular os termos (a0, an e bn) da Série de Fourier.

Lembremos que :

• par * par = par      
• par*ímpar = ímpar
• ímpar * par= ímpar
• ímpar * ímpar = par 

Os termos, a0, an e bn são calculados da seguinte maneira: 

Integrais de Funções Pares e ímpares:


Par:   



Ímpar: 


Usando As regras de Produto de Funções Pares e ímpares podemos facilitar os cálculos das integrais para obtenção de an e bn.


Outro Teorema Importante, mas que não abordaremos nessa resenha é o Teorema (ou Identidade) de Parseval que nos possibilita associar um número a uma Série Numérica.