Dedução da Forma Trigonométrica ou Geométrica

Definindo as partes que formam um número complexo z = a + bi.

z é um número complexo qualquer.
a é a parte real do número complexo z.
b é a parte imaginária do número complexo z. 

Podemos também representar um número complexo qualquer no Plano de Argand-Gauss (Reutilização do Plano Cartesiano, onde temos o eixo x transformado em um eixo real e o eixo y transformado em um eixo imaginário)

Nas coordenadas Polares temos dois novos fatores, a saber, o Módulo e o Argumento.

Módulo: Distância do Ponto P à origem

Argumento: Chama-se argumento de um complexo Z= a+bi, não nulo, ao ângulo θ, 0° ≤ θ ≤ 360° , formado por P e o semi-eixo positivo real.

Podemos escrever algumas expressões com esse "novo" Plano: 

Ps: O Módulo pode ser representado por |z| , ρ ou por r

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Podemos também escrever que:

Logo podemos escrever um número complexo de outra forma,substituindo b por |z|. senθ e

  a por |z|. cosθ .

 Temos então que Z=a+bi, substituindo... teremos:

Z= |z|.cosθ + |z|.senθ .i

           a    +     b      i

Podemos ainda, reduzir a equação, pois temos |z| como fator em evidência

Teremos: Z= |z| (cosθ + i senθ) , aqui chegamos à dedução da forma trigonométrica ou geométrica.

Podemos resumir isso tudo em uma imagem:

Créditos: Estude Matemática