Qual é a diferença entre "através de" e "por meio de" e quando usá-los?

"Através de": está relacionado ao movimento físico de "atravessar"

Exemplos: 

1. As folhas secas passaram através da janela.
2. O cachorro passou através da brecha no portão.
3. O namorado passou as flores para a namorada através da janela.
4. Enxergou a cidade através do vidro do carro.

"Por meio de" : Expressa um "meio" utilizado para certo fim.

Meio= intermédio

Exemplos: 

1. Conheci minha namorada por meio de amigos.
2. A encomenda foi entregue por meio dos correios.
3. A empresa comunica-se com seus funcionários por meio de e-mails.
4. Por meio de amigos, consegui um bom emprego.

Assim como você substitui o mas por porém, você pode substituir o "por meio de" por "por intermédio de"